74. 역해석(back analysis)

   가. 기본적인 고려방법

 역해석은 광범위한 내용을 포함하는 개념이며, 유한요소법에 의한 지반의 응력변형해석을 주 대상으로 하여 역해석 고려방법을 간단히 정리하면 다음과 같다.

유한요소법에 의한 지반의 응력변형해석 및 침투류 해석에서 기본적 의의는 컴퓨터로 실제의 현상을 재현하는 것이다. 이 재현을 성공시키기 위해서는 다음 조건을 먼족시켜야 한다.

① 지반거동을 충실히 표현하는 구성식을 사용한다.

② 구성식 중에 필연적으로 포함된 물성 정수를 정확히 추정한다.

③ 초기응력 등의 조건을 정확히 추정한다.

그림 74-1 과 같이 구성식을 가정하고 물성정수 및 초기상태를 토질시험 등으로부터 추정하여 입력하중에 대한 출력 변형, 응력을 구하는 것이 일반적인 응력변형 해석이다.

실제 지반의 거동을 완전히 재현하는 구성식의 확립은 곤란하므로 일반적으로 해석 목적에 따라 가상적인 구성식이 사용된다. 이 때 구성식에 포함된 물성정수도 또한 가상적인 것으로 된다.

채취시료의 토질시험, 원위치시험을 토대로 물성정수를 추정하는 방법도 단순화한 상황이며, 지반거동을 재현하여 구성식에 적합한 가상적인 물성정수를 결정하게 된다.

지반의 초기응력상태와 응력경로, 불균일성 등의 복잡한 영향으로 가상적 구성식과 실내시험 및 원위치시험에 의한 물성정수 추정을 조합하여 지반 특성을 표현하는 방법은 한계가 있으므로 그림 74-1의 출력으로서 변형 및 응력을 현실에 가깝게 재현할 수 없는 경우가 많다.

역해석은 실제 지반에서 그림 74-1의 입력과 출력으로 지반의 특성을 표현하는 것이다. 결국 구성식은 가상적인 것으로 볼 수 있으므로 가능한 단순한 형태로 표현하고 물성정수 등의 인자를 조정하여 실제 지반의 거동을 표현하고 있다.

실제의 시공에서는 경계조건 등이 복잡하여 유한요소법 등의 수치해석을 하지 않으면 실제 조건을 표현할 수 없는 경우가 많다. 이 때문에 특히 유한요소법 등의 수치해석법과 가상적인 구성식을 전제로 하여 물성정수 등의 인자를 실제의 관측치로서 추정하는 조작을 역해석이라 부른다.

한편 실제 시공에 따라서 관측된 결과를 토대로 그 후의 시공을 진행하는 관측시공이 예부터 지반공학 분야에서 이용되어 왔다. 관측시공에서 역해석을 이용할 경우 관측결과를 역학적으로 명확한 의미를 가진 물성정수 등의 형태로 정리하면 장래의 시공에 이용할 수 있다.

이러한 점에서 유한요소법 등의 해석법을 이용하는 점을 제외하면 역해석은 특히 새로운 개념은 아니다. 또한 제어공학분야에서 시스템의 동정(system indentification)이라는 개념이 사용된다.

동정은 그림 74-1과 같이 지배방정식에 포함된 인자의 추정으로 귀착된다. 이 관계는 전술한 역해석 개념과 완전히 동일하다. 입력하중을 기지수로 하고 관측결과(출력)로부터 응력변형 특성을 동정하는 것으로 되어 구체적으로는 구성식을 가정하여 물성정수 등의 인자를 추정한다.

   나. 사용방법

 역해석 방법은 확률론을 사용하는 방법과 사용하지 않는 방법으로 크게 나누어 진다. 여기서 후자는 역문제법과 직접법으로 나누어 진다. 역문제법을 유한요소법에 의한 응력변형해석에 응용할 경우 관측된 변위 u1과 미지변위 u2를 토대로 강성방정식을 나타내면 다음과 같다.

상기 식에서 미지의 변위를 소거하고 선형탄성론에서 Lame 의 정수를 사용하면 강성행렬이 선형적으로 분활되는 것을 이용하여 선형 대수 연산으로 역해석적으로 Lame 의 정수가 구해진다.

역해석법은 수학적으로 명확하고 계산량도 적은 이점이 있으나 이 방법으로 역해석되는 인자는 관측점의 배치 및 관측오차의 영향을 받기 쉽고 선형해석의 가정이 타당한 암반 등에 적용범위가 한정되어 있다.

직접법은 물성정수를 가정하여 계산한 결과와 관측결과 차이의 제곱의 합계가 최소로 되도록 물성정수를 결정한다. 물성정수를 수정하면서 응력변형해석의 반복계산을 하기 때문에 계산량이 많은 결점이 있으나 최소자승법의 특성에 의하여 관측오차 등의 영향을 받지 않고 선형, 비선형, 연성, 비연성 등에 관계 없이 광범위한 문제에 적용할 수 있는 이점이 있다.

확률론을 상용하는 방법은 Bayes의 정리를 토대로 하는 방법과 Kalman Filter 이론을 토대로 하는 방법이 있다. 그러나 양 이론 모두 선형모델을 바탕으로 하고 있어 역해석에 이용할 경우는 반복계산이 필요하므로 실질적으로는 같은 조작을 하게 된다.

확률론을 사용하는 방법은 역해석되는 인자의 정밀도(분산)가 얻어지는 이점이 있으나 적용할 수 있는 문제가 제한되어 있다.

   다. 응용

 역해석은 모든 문제에 대하여 물성정수 드의 인자를 추정하는 만능의 방법은 아니며, 다음 조건을 만족시켜야 한다.

① 역해석되는 인자가 관측되는 물리량에 큰 영향을 준다.

② 역해석되는 인자가 복수의 경우 각각의 인자가 관측되는 물리량에 독립적인 영향을 준다.

관측되는 물리량으로 관측이 용이한 것을 선정해야 하며, 관측점 개수, 배치에 대해서도 전술한 조건에 대응하는 조건이 필요하다. 지반을 등방선형 탄성체로 가정할 경우는 관측점의 배치를 적절히 하면 이들 조건을 가장 간단히 만족시킬 수 있으므로 사용법에 기술한 방법이 적용되고 있다.

이 외에 다차원압밀, 침투류 등 많은 분야에서 역해석의 성공 예가 보고되고 있다. 응력이 변형계수에 현저한 영향을 주지 않으므로 전술한 조건 ① 이 만족되지 않고 응력을 사용하는 항복함수 및 변형계수의 분석에는 큰 장애물이 있다.

이러한 한계를 고려한 후에 종래의 역학체계와 역해석으로 구성식을 표현을 조정한 실용적인 지반특성의 평가방법 확립이 앞으로의 과제이다. 역해석은 광범위한 현상의 특성을 현실에 가깝게 표현하는 실용적인 방법으로서 큰 가능성을 가지는 고려방법이며, 앞으로 응용적인 전개가 기대된다.